গণনার হিসাব নিকাশ শুরু
ঈদের পরের দিন তাই তুমি বাহিরে রেস্টুরেন্টে বন্ধুদের সাথে খেতে যাবে। রেস্টুরেন্টে গিয়ে দেখলে a রকমের তরকারি আছে। তুমি একটি তরকারি খেতে চাও তাহলে কতভাবে খেতে পারবে? a ভাবে সহজ চিন্তা! যদি a এরকম তরকারি ও b রকম সবজি থাকে। আর তুমি কেবল একটি আইটেম খেতে পারবে তাহলে কতভাবে খেতে পারবে? a+b ভাবে। কারণ তোমার সামনে a+b টা অপশন আছে।
আরেকটু ভাবা যাক, এখন তুমি একটা তারকারি ও একটা সবজি খাবে একসাথে তাহলে কয়টা অপশন? ভেবে দেখলে বুঝবে যে তোমার হাতে ab টা অপশন আছে। কারণ দেখা যাক-
ধরা যাক তোমার সামনে তরকারি আছে
রুই মাছ
ইলিশ মাছ
কাতলা মাছ
আর সবজি আছে
পেপে
কুমড়া
গাজর
ফুলকপি
তুমি চাইলেই রুই মাছের সাথে 4 রকমের সবজি নিতে পারো। তাহলে বাকি তরকারির সাথেও সেইমভাবে নেয়া যায়। মোট উপায় হচ্ছে - 4+4+4=12 ভাবে অথবা 4*3=12 ভাবে।
যোজন বিধি(addition principle):
একটি কাজ m সংখ্যাক উপায়ে এবং অন্য একটি কাজ n সংখ্যাক উপায়ে করা সম্ভব হলে, কাজ দুটি একত্রে m+n সংখ্যক ভিন্নি ভিন্ন উপায়ে করা যাবে। অর্থাৎ কাজ দুইটি একত্রে করার জন্যে (m+n)টি অপশন রয়েছে।
কোনটি একটি স্কুলে বিজ্ঞান বিভাগে 40 জন, ব্যবসায়ী বিভাগে 45 জন ও মানবিক বিভাগে 35 জন রয়েছে। স্কুলে মোট কতজন শিক্ষার্থী রয়েছে?
=>টোটাল শিক্ষার্থী: 40+45+35=120 জন
একটা কাজ p সংখ্যক অথবা q সংখ্যক অথবা r সংখ্যক উপায়ে করা গেলে কাজটি মোট p+q+r সংখ্যক উপায়ে করা যায়। মনে কর, তুমি একটা সিনেমা দেখবেন। তোমার কাছে তিনটা বাংলা, চারটি ইংরেজি ও দুটি কোরিয়ান মুভি আছে।দেখতে পারবে একটা,তো এ কাজ কতভাবে করা যায়? ৩+৪+২=৯ উপায়ে।
গুণনবিধি(multiplication principle):
দুইটি ঘটনা G1 ও G2 যদি একে অপরের উপর নির্ভরশীল না হয়, G1 যদি m- সংখ্যক উপায়ে এবং G2 যদি n-সংখ্যক উপায়ে ঘটতে পারে, তাহলে ঘটনা দুইটি ঘটার মোট উপায় হলো mn.
অর্থাৎ মোট উপায় সংখ্যা হবে n+n+n+.....+n(m সংখ্যক বার) =m*n
মনে কর, সকালে ও রাতে কোন সাবজেক্ট পড়বে তার একটা রুটিন করলে।সকালে পড়তে চাও physics অথবা chemistry। রাতে পড়বে চাও Bangla অথবা English অথবা Math। প্রতি সময় কেবল একটাই পড়তে চাও । তাহলে কিভাবে হতে পারে?
P+B,P+E,P+M
C+B,C+E,C+M
মোট ছয়টি উপায় পাওয়া গেল।এবার বিধিটা বলি- দুটি কাজের প্রথম টি m সংখ্যক উপায়ের যেকোন এক উপায়ে করার পর যদি দ্বিতীয় কাজটি n সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায়,তবে ঐ দুটি কাজ একত্রে mxnসংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায়। উদাহরনে সকালে সাবজেক্ট ছিল ২ টি,রাতে ছিল ৩ টি। তাই মোট উপায় ২×৩=৬ টি।
.
সহজভাবে বললে,দুটি(বা যেকোন সংখ্যক) কাজ করার ক্ষেত্রে প্রথমটা যে কোন এক উপায়ে করে "তারপর" পরেরটা করা হলে সেক্ষেত্রে গুন করতে হবে।কারণ এটা নির্ভরশীল ঘটনা।
স্বাধীন ঘটনা হলে যোজন বিধি
নির্ভরশীল ঘটনা হলে গুণন বিধি
এবার আমরা সেট নিয়ে আলোচনা করিঃ
সেট হচ্ছে ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের সমষ্টি।যেমন A={1,2,3….N} সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যা কিনা A দিয়ে প্রকাশ করা হলো
AUB হলো এমন সেট যা কিনা৷ A ও B এর সকল উপাদান নিয়ে তৈরি AUB=|A|+|B| (যদি তাদের মধ্যে সাধারণ উপাদান না থাকে)
|AxB|=|A|.|B|
AB হলো A ও B এর মধ্যে সাধারণ উপাদান এর সেট।
n সংখ্যক নিশ্ছেদ সেট S1, S2,.....Sn- এর ক্ষেত্রে,
|S1US2U……..US3|=|S1|+|S2|+......|Sn|
দুটি সেটের মধ্যে যদি কমন উপাদান থাকে তখন
|AUB|=|A|+|B|-|AB|
তিনটি সেট এর ক্ষেত্রে-
|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
ভেনচিত্র দিয়েও প্রবলেম গুলো সহজভাবে উপস্থাপন করা যায়
নিজে করো:
1 থেকে 50 এর মধ্যে-
কয়টি জোড়/বিজোড় সংখ্যা আছে?
3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?
পূর্ণবর্গ সংখ্যা কয়টি?
মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
1,3,5,7,9…..399 পর্যন্ত কয়টি পদ আছে?
1 থেকে 50 পর্যন্ত কয়টি সংখ্যা -
5 দিয়ে বিভাজ্য?
7 দিয়ে বিভাজ্য?
5 এবং 7 উভয়ে দিয়ে বিভাজ্য?
5 অথবা 7 যেকোনো একটি সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য?
5 বা 7 কোনটাই দিয়ে বিভাজ্য নয়?
1 থেকে 1000 এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা 2 অথবা 3 এর মধ্যে অন্তত একটি সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য?
কয়টি ধনাত্নক পূর্ণসাংখ্যিক ক্রমজোড় পসিবল অসমতায়
1≤x≤7, 1≤y≤4
সকল ধনাত্নক পূর্ণসাংখ্যিক ক্রমজোড় (x,y) বের কর যারা x+y≤ 5 মেনে চলে।
50 থেকে 100 এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা আছে
9 দ্বারা বিভাজ্য
(2,3,4,5,6,7,8,9) দ্বারা বিভাজ্য নয়
তোমার কলেজের ক্রীড়া প্রতিযোগীতায় কেউ দৌড়ে অংশগ্রহণ করে কেউ দীর্ঘ লাফে অংশগ্রহণ করে। মোট প্রতিযোগী 45 জন, দৌড়ে 30 জন এবং দীর্ঘলাফে 25 জন। কয়জন দুই প্রতিযোগীতায় অংশগ্রহণ করেছে?
14 জনের একটি গ্রুপ একটি রেস্টুরেন্টে গেলো। প্রত্যেকে হয় বার্গার পছন্দ করে না হয় পিৎজা পছন্দ করে৷ যদি 9 জন বার্গার ও 4 জন দুইটিই পছন্দ করে তাহলে পিৎজা পছন্দ করে কত জন?
লুডু খেলায় একবার ছয় উঠলে এরপরের বার ও মারতে হয়
তাহলে কয়টি কেইস পসিবল?
যদি টানা 3 বার মারতে হয় তাহলে কয়টি কেইস পসিবল হবে?
নাহিদ সাহেব কোয়ারেন্টাইনের ছুটিতে খুলনা হতে ঢাকায় আসতে চায় তার সামনে 6টি ভিন্ন ভিন্ন বাস যাতায়াত সম্ভব। নাহিদ সাহেব কত উপায়ে খুলনা হতে ঢাকায় এসে আবার কোয়ারেন্টাইন শেষে ঢাকা থেকে খুলনায় যেতে পারবেন?
আসার সময় যে পথে আসবেন আবার ফিরার সময় একই পথে না গেলে কত উপায়ে ঢাকা থেকে খুলনায় যাওয়া সম্ভব হবে?
কতভাবে 5 জন একই লাইনে দাড়াতে পারে?
0!= কত?
1টি রিং তুমি তোমার হাতের আংগুলে কতভাবে পড়তে পারবে?
একটি সভা শেষে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলেন। হ্যান্ডশেক এর সংখ্যা 66 হলে সভায় কতজন ছিলো?
ইঞ্জিনিয়ার আহনাফ সাহেবের 6 জন বন্ধু আছেন সে একদিন একটি প্রোগ্রাম করতে বসলো (সি প্রোগ্রামিং) কিভাবে দাওয়াত দিবে। এখন তুমি বলো আহনাফ সাহেব এক বা একাধিক বন্ধুকে কতভাবে দাওয়াত দিবেন?
0,1,2,6 অংকগুলো একবার ব্যবহার করে 3 দ্বারা বিভাজ্য মোট কতটি সংখ্যা গঠন করা যাবে?
একটি বিল্ডিং এ তুমি সহো 120 টি ফ্ল্যাট রয়েছে এবং সবার সাথে তোমার ভালো সম্পর্ক। এখন তুমি সবাইকে তোমার বাসায় দাওয়াত দিয়ে খাওয়াতে চাও ঠিক তেমনি তুমিও প্রত্যেকের বাসায় একবার খেতে চাও তাহলে কাজটি কতভাবে করা যাবে?
দুইটি লাইনে সমান সংখ্যাক ভাবে মোট 14 জন দাড়াতে চায়। কতভাবে সম্ভব?
একটি বুক শেল্ফ এর 3টি তাক রয়েছে। 5টি বই কতভাবে রাখা যাবে?