তুমি ও তোমার ফ্যামিলি সহো কক্সবাজার ট্রিপে যাবা সেজন্যে একটি কার(ছোটো গাড়ি) ঠিক করলে। এখন খেয়াল করলে যে কারের মধ্যে 5টি সীট খালি আছে আর তুমি সহো টোটাল সদস্য 5 জন (ভিন্ন ভিন্ন)। এখন কিভাবে বসতে পারবে? করা যাক-
1ম সীটে 5 জনের মধ্যে 1 জন বসলো(5জনের যে কেউ বসতে পারে) অর্থাৎ 5 ভাবে এই কাজটি করা যায়।
আর সীট বাকি আছে 4টি যেহেতু একজন বসে গেছে অলরেডি তাই 2য় সীটের জন্যে আরেকজন বসতে পারবে 4টি উপায়ে৷ এভাবে 3য় সীটের জন্যে 3টি উপায় 4র্থ সীটের জন্যে 2টি উপায়ে এবং শেষ সীটের জন্যে 1টি উপায় রয়েছে৷
মোট উপায় =5*4*3*2*1=120 উপায়ে 5 জন 5টি ফাকা সীটে বসতে পারবে। এখন এখানে যোগ হলো না কেন? কারণ প্রতি উপায় তার পূর্বের উপায়ের উপর নির্ভরশীল তাই গুণনবিধি প্রযোজ্য এই ক্ষেত্রে।
বলা যায় 5 টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু 5টি জাগায় সাজানো যাবে 5*4*3*2*1 উপায়ে।6টি ভিন্ন বস্তুর ক্ষেত্রে 6*5*4*3*2*1 টি উপায়ে।
এখন n টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু যদি n টি ফাকা স্থানে রাখতে হয় তাহলে সাজানো যাবে n*(n-1)*(n-2).......3*2*1 উপায়ে। n টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু সাজানোর উপায়কে n! (n ফ্যাক্টোরিয়াল) আকারে প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলই n!
একটি অফিসে n জন লোক আছে৷ সেখানে যদি এক চেয়ারে দুইজন বা তার অধিক বসতে না পারে।
কতভাবে প্রথম সীটে বসতে পারবেন? উত্তরঃ nভাবে
2য় সীটটি কতভাবে বসতে পারবেন? উত্তরঃ (n-1) ভাবে
কতভাবে প্রথম ও 2য় সীট পূরণ করা যাবে?উত্তরঃ n(n-1)
কতভাবে অফিসের n সংখ্যক সীট পূরণ করা যাবে? উওরঃ n!
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)......(n-r)....3.2.1
=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r)!
=n(n-1)(n-2)!
1!=1
2!=1*2
3!=3*2*1
4!=4*3*2*1
5!=5*4*3*2*1
0! = 1?? [Factorial of zero ]
প্রথম কথা, Factorial Function শুধুমাত্র ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত। Factorial এর সম্প্রসারিত Function হচ্ছে Gamma Function. এটি সকল বাস্তব সংখ্যা এবং কাল্পনিক সংখ্যার জন্যও সংজ্ঞায়িত।১৭২৯ সালে বিখ্যাত গণিতবিদ অয়লার মাত্র ২২ বছর বয়সে এই ফ্যাক্টোরিয়ালের জন্য একটা সাধারণ সূত্র বের করেন। তিনি এঁকে বলেন গামা ফাংশন। এর মাধ্যমে যে কেউ চাইলেই ভগ্নাংশ বা অমূলদ সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়ালও বের করতে পারতেন। তিনি দেখান
অর্থাৎ, Factorial কে সকল সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা যায়। 0 এর ফ্যাক্টোরিয়েল এর মিনিং কি? একটি ঘর শুন্য এর মানে ফাকা কিছু নেই ভিতরে। এই সিচুয়েশনটা কয়ভাবে পসিবল? উত্তর : একবার (কোন বস্তু বা অবস্থা ফাকা এবং কোনো কিছু নেই, দুইটার অর্থ কিন্তু এক নয়। কোনো কিছুর অস্তিত্ব আছে কিন্তু আপাত অবস্থান শুন্য। আবার কোনো একটা কিছুর অস্তিত্ব নেই তাই এর আপাতত অবস্থা ও নেই।
0! = 1 এটা খুব সহজেই প্রমাণ করা যায়।
আমরা জানি, n! = n (n-1) (n-2)... [1 পর্যন্ত]
অনুরূপভাবে, (n-1)! = (n-1) (n-2)... [1 পর্যন্ত]
অর্থাৎ,
n! = n (n-1)! [যেমনঃ 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 * 4!]
তাহলে (n+1)! = (n+1) (n+1-1)! = (n+1) n!
সুতরাং n! = (n+1)! / (n+1) ....... The Ultimate Formula
এই Formula ব্যবহার করে... 1! = 2! / 2 = 1
এবার... 0! = 1! / 1 = 1 (Proved)
(-1)! এর মান = 0! / 0 = 1/0 = +-∞ (Plus/Minus Infinity) অর্থাৎ অসংজ্ঞায়িত।
(-2)! এর মান = (-1)! / -1 = +-∞/-1 = +-∞ (Plus/Minus Infinity) অর্থাৎ অসংজ্ঞায়িত।
জেনে রাখা ভালো, 1/0 অসঙ্গায়িত। কারণ এর মান ∞ এবং - ∞ দুইটাই হতে পারে।তাই Negative Number এর Factorial = Plus/Minus Infinity অর্থাৎ অসংজ্ঞায়িত (Undefined)!
নিজে করোঃ
5টি সত্য-মিথ্যা কতভাবে ভুল উত্তর দেয়া যাবে? (just 18-19)ইংরেজি বর্ণমালার 10টি বর্ণ হতে যেকোনো 5টি নিয়ে কতগুলো শব্দ গঠন করা যাবে?